在机电一体化技术高度发达的今天，分度凸轮机构仍占重要地位的原因很多，其中一个重要的因素是此类机构在动态响应速度、抗振性与稳定性等方面所表现出的优势。在高档数控加工中心机床上，为实现机床的快速转位依然采用凸轮机构(ATC)；同样在自动化机械中的高速间歇分度运动控制中，也仍广泛地采用凸轮式分度机械，这些均是具有说服力的例证。由此可见包络蜗杆分度凸轮机构［1］的动态性能如何，将决定此类机构动力学系统的品质，关系着此类机构未来的发展，为此须做深入的分析与研究。
从宏观上讲，包络蜗杆分度凸轮机构的动力学系统，是一个大系统，其中包括多个组成环节，如原动机械、变速机械、分度凸轮装置、工作机械。十分明显，在这四个环节中，分度凸轮装置对大系统的动力学特性起着决定性作用，成为大系统振动、动载、噪声的主要发源地。因此有必要把研究的中心聚焦在这个环节上，下文所说的动力学系统，即专指分度凸轮装置这一环节。进一步说，一个动力学系统一般包含四个要素：惯性、弹性、激励、阻尼。落实到本论文所研究的包络蜗杆分度凸轮机构，其具体含义是：
(1) 系统的惯性 主要是指凸轮轴系与分度盘轴系的转动惯性和平动惯性，它们可以用转动惯量及质量来表示。
(2) 系统的弹性 分度凸轮轮齿与分度盘轮齿在啮合状态下的弹性弯曲和弹性接触，可以综合用“啮合刚度”来表示；凸轮轴系、分度盘轴系的弹性弯曲和弹性扭转，可以分别用弯曲刚度和扭转刚度来表示；此外，尚还有轴承的弹性变形等。
(3) 系统的激励 分度凸轮装置系统的激励可分为两大类：一是因分度盘的不均匀回转引起脉动的惯性力激扰，称为惯性激励；二是因各种制造、安装误差、啮合刚度随转角的变化等因素，转化为弹性力的变化，称为弹性激励。
(4) 系统的阻尼 凸轮廓面与分度盘廓面间的摩擦力、轴承的摩擦损失产生的摩擦阻尼；啮合廓面间动压油膜产生的缓冲，以及转动件搅动冷却润滑油产生的流体阻尼等。
上述四个方面成为包络蜗杆分度凸轮装置动力学系统的主要内容，并为其动力学模型的建立提供依据。为了使讨论更为具体、集中，下面仅以点啮合圆柱廓面包络蜗杆分度凸轮机构为分析实例，进行此类机构的动态特性研究。
1 包络蜗杆分度凸轮机构动力学系统的主要特征
依据对包络蜗杆分度凸轮机构［1、5］的讨论，可将点啮合圆柱廓面包络蜗杆分度凸轮机构的特点概括为：垂直交错轴、变速比、无侧隙、点啮合；这四个特点很大程度上决定其机构动力学系统的特征，是建立动力学模型的基础。
1.1 速比特性与惯性激励
包络蜗杆分度凸轮机构的动力输出 为间歇式运动，可以区分两个工作段：分度运动状态的“动程段”，定位状态的“静程段”，在凸轮回转一周内，速比产生了剧烈的变化，将对机构系统产生强烈的周期性惯性力矩。激励是凸轮机构系统产生振动的一项重要的激励源。因此，由变速比特性带来的惯性激励，是分度凸轮机构的基本属性，采取适当的措施可以缓解，但无法根除，很值得重视。
1.2 降速特性与隔振效应
此类分度凸轮机构除了具有变速比特性外，还具有明显的降速特性，这一点同蜗轮蜗杆传动非常类似。无论分度凸轮机构采取何种速比运动规律，其平均速比为
I=(∫π-πI(φ2)dφ2)/2π=1/z (1)
上式表明平均降速比为z；当分度数z不十分小时，从凸轮轴至分度轴间存在较大的降速比，将对其动力学系统产生重要影响。
从动力学的观点来看，所说的分度凸轮机构系统为多自由度的振动系统。其中交织有：周向振动(回转振动)与各方向的“平动振动”，并且它们又相互耦连，显现出十分复杂的情形。现以周向振动为例，凸轮轴系与分度轴系均会产生绕各自回转轴线的周向振动；它们受到共轭廓面的约束，相互的耦连应满足啮合原理的转角规律，即如啮合副的转角函数为φ1=φ1(φ2)，两轴系的振动角位移为θ1、θ2，则耦连时必有：θ1=φ1(θ2)。
由于降速特性的影响，凸轮轴振动的角位移θ2，将被平均地压缩1/Z倍而耦连于分度盘，其影响已十分微弱了。反过来看，分度盘的周向振动如若反馈给凸轮轴，有如“蜗轮带动蜗杆”回转，由于摩擦力的扼制，甚至自锁，又几乎是不可能的。由此可见，因降速特性阻断了这两个传动轴系间周向振动的相互传递，才产生了类似于隔离振动的效果，简称“隔振效应”。这种良性效应阻断了来自凸轮轴的周向振动，以及通过凸轮轴输入的前级周向振动，提高了输出端分度轴系的平稳性。隔振效应基于降速比特性，也是由分度凸轮机构的基本原理所决定的；这也是包络蜗杆式分度凸轮机构的动态特性优于同类机构，适宜在高速下工作的重要原因，同时也将使其动力学分析的数学模型得到简化。
1.3 无侧隙啮合刚度
无侧隙啮合亦称双面啮合，即左、右侧齿廓面同时参与啮合，其目的在于提高齿轮间的啮合刚度，避免脱啮现象发生和产生脱啮振动，提高系统的抗振性能，在现有各类分度凸轮机构中普遍采用。一般来说，作用于分度盘轮齿廓面上的法向力，可以分解于轮齿的径向与切向；当它们随时间(或凸轮转角)而作周期性变化时，将引起分度轴系的径向振动、切向振动以及周向振动。其中切向力作用于啮合副的轮齿上，产生弹性弯曲变形和弹性接触变形，而啮合刚度正是表征抵抗这种变形的能力，它实际上将随时间而变化，在很大程度上影响着系统的动态特性。由动力学的理论可知，一个变刚度系统尽管没有其它各种外加激励时，也会因系统本身刚度的改变而引起机构系统“参数振动”［3］的发生，这种影响可归纳为系统弹性激励的一个主要组成部分。
接触刚度是啮合刚度的重要组成部分。它带有非线性特征，载荷越大刚度越高。由于双面点啮合副是在预载下工作，这相当于啮合的轮齿与对应的齿槽处于轻微“过盈”状态，可以显著地提高其共轭齿廓面间的接触刚度。
1.4 无侧隙啮合条件下的综合误差
由于各类误差的存在将会对系统产生弹性激励，这就需要说明误差对动力学系统的影响机制；其主要的误差形式大致有四：分度凸轮及分度盘的齿形误差；分度肋的轮齿间分度误差；分度凸轮及分度盘的径向跳动误差；分度凸轮轴系的轴向窜动误差等，它们来源于机构装置的制造误差、安装误差以及轴承件误差等。
因为双面无侧隙啮合，将使得误差的影响带有某些特殊性，需要引入“综合误差”的概念。假设凸轮的廓面无误差，如果它仍能同带误差的分度盘保持无侧隙啮合，则必须改变其径向与切向的位置，可以把这一位置的变化量称为综合误差。其中，引起中心距变化的误差为径向综合误差；引起沿凸轮轴向位置变化的误差为切向综合误差。例如，凸轮的径向跳动误差，将导致以凸轮每转为周期的高频径向综合误差；而凸轮的轴向窜动误差所引起的是高频切向综合误差；由于分度盘转速较低，其径向跳动则引起低频的径向综合误差与切向综合误差等。
容易理解，在无侧隙啮合的条件下，上述两类综合误差，将引起径向及切向的弹性变形，即弹性力的周期性脉动，成为系统的激励源之一。
2 包络蜗杆分度凸轮机构的动力学模型
2.1 动力学模型的框架思路
为了突出本系统的基本特征，简化其动力学模型，特作如下假定：
(1) 本模型以反映输出端的分度盘轴系的动力学特征为重点，由于“隔振效应”扼制了本机构的前级周期向振动向分度盘轴系的传递，故在动力学模型中将忽视凸轮轴系周向振动的影响。
图1 分度机构简图
(2) 由于分度盘轮齿为柱状直齿，除了廓面间的摩擦力，一般不会激励分度盘的轴向振动，因此只考虑分度轴系统在与分度轴线成正交的O1X1Y1平面内的振动。
(3) 由于是处于无侧隙啮合，左右廓面同时受力，使得系统所受合力方向，基本上不受分度盘轮齿周向位置的影响。建模时可将分度盘轮齿放在零位(即φ1=0时的位置)。
(4) 本系统的振动为微幅振动，可以略去其高阶量，使振动模型线性化。
在上面的假定下，可以给出系统的振动模型简图，如图2所示。首先过分度盘的回转中心建立坐标系｛OXYZ｝，称X方向为径向，Y方向为切向，Z方向为轴向，绕Z轴回转为周向。图中各元件的含义为：1、2分别表示分度轴系与凸轮轴系的惯性质量；11为轮齿间的切向啮合弹簧，表示切向啮合刚度；13为轮齿间的径向弹簧；23、24分别为凸轮轴系的切向弯曲弹簧与径向弯曲弹簧，15、16分别为两个误差凸轮，用以模拟径向与切向综合误差。为使图形简化、清晰，在图2中并未画出阻尼元件。在此规定下，可将系统的振动分为三类：① 周向振动；分度轴系绕Z轴的扭转振动；② 切向振动：分度轴系与凸轮轴系沿Y方向的振动；③ 径向振动：分度轴系与凸轮轴系沿X方向的振动。
图2 系统的动力学模型
上述的各类振动的综合将形成一个多自由度的复杂振动系统；应用解析方法描述这三类振动，便是建立系统动力学模型的主要内容。
2.2 动力学模型的建立
首先在忽略阻尼的条件下，讨论本机构振动的动力学方程(参考图2所示)。
(1) 周向振动：设φ1为分度盘的理论转角，θ1为周向振动的角位移，J1为其转动惯量，分度盘轮齿啮合点处的作用圆半径为R1，则周向振动的动力平衡方程为
J1 1+KZR1(q1+q2-q3)=-J1Ω2 (φ2)-KZR1εt (2)
以R1除上式两端，尚可有
m(1)1 1+KZ(q1+q2-q3)=-m(1)1Ω2 (φ2)-KZεt (3)
式中m(1)1=J1/R1表示周向振动的折算质量； 1=Ω2 (φ2)， (φ2)=dI(φ2)/d(φ2),φ2=Ωt，Ω2=Ω来表示凸轮轴的回转角速度；周向振动在作用圆上的线位移可书为：q1=R1θ1，q2、q3分别表示分度轴系与凸轮轴系的切向振动位移，εt表示切向综合误差，上述诸量q1，q2，q3，εt均以Y轴的正向为正向；KZ为轮齿间的(切向)啮合刚度。将周向振动转换到切向上来研究，给后续处理带来了方便。
(2) 切向振动：凸轮轴系与分度轴系，通过切向啮合弹簧耦连，并由弹簧12、23所支承，构成了两自由度的振动系统。其动力平衡方程为
(4)
式中m(1)2m(2)分别表示分度轴系与凸轮轴系的质量；K2、K3为弹簧12、23的支承刚度，其余字母符号表示同前。可以进一步将上式化为
(5)
(3) 径向振动：对于分度凸轮机构的径向振动系统，其分度轴系与凸轮轴系通过弹簧13耦连，并由14、24所支承。所构成的两个自由度振动的动力平衡方程为
(6)
式中q4、q5分别表示分度轴系与凸轮轴系的径向振动位移，以X轴向为正向；εa为径向综合误差；KX、K4、K5分别表示弹簧13、14、24的刚度，其中KX被称为(径向)啮合刚度。同样也可以将上式化简为
(7)
(4) 上面的(3)、(5)、(7)三式，便是描述分度凸轮机构装置系统五个自由度的振动方程，并且由于将周向振动转化为切向，故最终可以归纳为两类：
切向：
(8)
径向：
(9)
上面的(8)、(9)二式为系统的动力学方程：可以看出，其中切向三个方程，径向共两个方程，并且它们之间并不耦连，成为此类机构振动分析的一个突出特征。为了适应后续研究工作的需要，还可以将式(8)、(9)改型。以m(1)2m(2)、m(1)1m(2)、-m(1)1m(1)2分别乘以式(8)中的三个式子，然后再将三式求和作为第一式，后两式不变，可得
(10)
其中，qt=q1+q2-q3, ；qt称为切向的相对振动位移；mt为切向总折算质量。
同理，以m(2)乘以式(9)中的第一式，m(1)2乘以式(9)中的第二式，相乘后的两式相减作为新的第一式；而原来的第一式保持不变并作为新的第二式；可得
(11)
其中，qr=q4--q5, ；式中的qr为径向的相对振动位移；mr为径向折算质量。
如果再考虑系统的阻尼，尚可将式(10)、(11)化为
(12)
式中的Dt，D2，D3，Dr，D4为阻尼系数；上面的方程由于考虑了阻尼，使得分度凸轮机构装置系统的动力学分析数学模型变得更为完整。
3 包络蜗杆分度凸轮机构的动态特性分析
系统的固有频率是动力学系统重要的参量，直接关系着系统自由振动的特征和强迫振动的共振特性。系统的动态特性寓于其动力学模型之中，通过对式(10)、(11)的解析分析或数值计算，便可获得必要的动力学性质。在忽略阻尼的影响时，可将式(10)、(11)的固有频率由下式解得：
(13)
上两式称为系统的频率方程，ω即为系统的固有频率；第一式为ω2的二次方程，第二式为ω2的三次方程。
令 b22,代入到式(13)的第一式中，可得
(14)
同理，令 ，代入到式(13)的第二式中，可得
a(ω2)3+b(ω2)2+c(ω2)+d=0 (15)
其中，a=1,b=a23-a11-a22，c=a11a22+(a11+a22)a33-a31a13-a21a12,d=a13a31a22+a12a21a33
-a11a22a33;再作变量替换：ω2=y-b/(3a)，化成不含两次项且首项系数仍为1。即
(16)
应当注意，由于系统的固有频率ω2 0，则上式所求得的y值应为实数根。解此一元三次方程，可得
(17)
上式即为式(10)所示方程的三个实数根表达式：当Δ=q2/4+p3/27＜0时，有三个相异的实根；当Δ=q2/4+p3/27=0时，三个实根中有两个相等。再由变量变换关系，可求得系统的固有频率为
(18)
至此，便从频率方程中可求得各阶固有频率的解，确定此系统振动的模态。因而可以对此类机构系统的动态特性进行估算与预测。 |
ljl215
发表于 2007-2-5 19:37:47
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